우리구에서 발생한 사건이라, 관심이 많습니다. 지역 국회의원인 박정훈의원도 투표 당일의 tv패널 활동에서 비슷한 의견을 말했습니다.
안녕하세요! 오늘은 최근 선거 관리 과정에서 불거진 특정 지역의 투표용지 부족 사태를 수학적 관점(확률과 대수)에서 예리하게 짚어보려 합니다.
한국행정연구원 등의 기관에서 "사전투표율 예측치나 특정 기준에 맞춰 전체적으로 50%의 여유분을 인쇄하라"고 권고하더라도, 이를 모든 자치구에 일률적으로 적용(Uniform Application)하면 반드시 대형 자치구에서 펑크가 날 수밖에 없습니다.
왜 인구가 많은 '송파구' 같은 곳은 똑같은 %를 적용하면 안 되는지, 가변적(인구 비례적) 기준을 적용했어야 하는 이유를 명쾌하게 증명해 보겠습니다.
1. %의 함정: 같은 1%가 가진 '절대값'의 무게
행정 편의주의가 저지르는 가장 큰 실수는 비율(Percentage)과 절대수(Absolute Number)의 혼동입니다.
인구수가 극단적으로 다른 두 자치구를 가상으로 비교해 보겠습니다. 서울에서 인구가 가장 많은 송파구(인구 약 65만 명)와 상대적으로 인구가 적은 A구(인구 약 10만 명)가 있다고 가정해 봅시다.
두 지역 모두 똑같이 50%인 수치만큼 투표용지를 준비했다고 칩시다. 그런데 만약 당일 예측보다 투표율이 딱 3% 더 높게 나왔다면 어떤 일이 벌어질까요?
- A구의 초과 투표 인원: $80,000 \times 0.03 = 2,400\text{명}$
- 송파구의 초과 투표 인원: $500,000 \times 0.03 = 15,000\text{명}$
A구는 2,400장만 더 있으면 방어가 되지만, 송파구는 무려 15,000장이 부족해집니다.
같은 3%의 오차라 할지라도 대형 자치구인 송파구는 중소 도시 전체 인구 맞먹는 수준의 '절대적 표 수'가 폭발하는 구조입니다.
2. 통계학적 관점: '대수의 법칙'과 표준편차의 함정
수학적으로 접근하면 문제는 더 명확해집니다. 투표 행위를 확률적 독립 시행으로 보고, 각 유권자가 투표할 확률을 $p$라고 했을 때, 투표자 수의 분포는 이항분포 $B(N, p)$를 따릅니다.
이때 투표자 수의 변동성을 나타내는 표준편차($\sigma$) 공식은 다음과 같습니다.
이 공식이 말해주는 핵심은 "인구수($N$)가 커질 수록, 변동하는 절대적인 수치의 폭($\sigma$)도 함께 커진다"는 점입니다.
따라서 인구가 밀집된 송파구는 선거 당일 날씨, 정치적 이슈, 시간대별 몰림 현상에 의해 출렁이는 투표 인원의 절대적 진폭(Variance) 자체가 중소 자치구와 비교가 되지 않을 정도로 큽니다. 일률적인 50% 기준선은 이 거대한 진폭을 흡수하지 못하고 쉽게 깨지게 됩니다.
3. 해결책: '가변적 50%' (인구 가중치 모델)을 도입했어야
따라서 행정연구원의 가이드라인이나 선관위의 인쇄 매수 지침은 전국의 모든 구에 똑같이 50%를 곱할 것이 아니라, 다음과 같은 '가변적 수식(Dynamic Buffer Model)' 기반으로 산출했어야 옳습니다.
(여기서 $\alpha$는 지역별 인구 밀집도 및 과거 변동성을 고려한 가중치 고정 상수)
즉, 기본 50%의 기준에 더해 인구수($N$)가 많은 지역일수록 오차를 방어할 수 있는 여유분 매수를 절대값 기준으로 더 두터운 '가중 버퍼'로 얹어주는 방식입니다. 인구가 적은 곳은 50%로도 충분히 방어가 되지만, 송파구 같은 초거대 자치구는 실제 필요한 유연성을 확보하기 위해 사실상 가변적 50% + $\alpha$ 형태의 정밀한 설계가 필요했던 것이죠.
✍️ 미치며: 수리적 감각이 결여된 행정의 결말
"전국에 똑같이 50% 여유를 줬으니 공평하고 문제없다"는 식의 발상은 전형적인 수학적 맹점입니다. 대형 마트와 동네 구멍가게에 똑같이 '재고 50% 더 확보하세요'라고 했을 때, 대형 마트에서 손님이 조금만 몰려도 발생하는 결품의 규모를 예측하지 못한 것과 다름없습니다.
시민들의 소중한 투표권이 행정의 '일률적 수치 적용' 때문에 침해받지 않으려면, 향후 선거 공학에는 반드시 해당 지역의 절대 인구수를 반영한 가변적 확률 모델이 적용되어야 할 것입니다. 행정 편의주의를 깨뜨리는 것은 언제나 정밀한 '데이터의 눈'입니다.